Prepariamo una scacchiera di 6 caselle per 61. Poi tiriamo due dadi e sistemiamo una pedina sulla casella indicata dal tiro (un dado indica la riga, l'altro la colonna). Continuiamo così a riempire a caso la scacchiera con un certo numero di pedine, diciamo 108, in modo da avere una media di 3 pedine per casella.
Come ci aspettiamo che siano disposte le pedine nelle varie caselle? Ovviamente, anche se la media è 3 pedine per casella, ci saranno alcune caselle con meno di 3, altre con più di 3. La figura cap:Selinger-A8.1 illustra un possibile risultato.
Possiamo decrivere questa situazione in modo sintetico. Contiamo le caselle che contengono 1 pedina, quelle che ne contengono 2, etc., e rappresentiamo il risultato in un istogramma (figura cap:Selinger-A8.2). Come si vede, non tutte le caselle contengono 3 pedine, anzi ci sono più caselle con 1,2, o 4 pedine.
Ora muoviamo a caso le pedine tra le caselle. Per fare questo tiriamo i dadi due volte per ogni mossa: il primo tiro indica la casella da cui levare una pedina (se la casella è vuota, si ritira); il secondo tiro, dove metterla. Ripetiamo la cosa molte volte per simulare un rimescolamento efficiente. Dopo 1000 mosse, ad esempio, la situazione è quella della figura cap:Selinger-A8.3. Vediamo che la distribuzione si è modificata (ora ci sono anche molte caselle vuote).
Se andiamo avanti con rimescolamenti di 1000 mosse otterremo istogrammi (distribuzioni) diversi. Se volessimo fare una statistica potremmo fare una media sui vari istogrammi che otteniamo. Come vi aspettate che sia l'istogramma mediato su 500 rimescolamenti?
La risposta è riportata nell'ultima figura (cap:Selinger-A8.4). Vediamo che in media ci sono molte caselle vuote, un po' meno caselle con 1 pedina, ancora meno con 2, e sempre a scendere fino a medie molto basse per numeri di occupazione alti, tipo 13 o maggiore.
Questo risultato è confermato da una formulazione matematica di questa statistica. La distribuzione tende verso un istogramma che ha un'andamento decrescente (in particolare, decresce esponenzialmente). Cioè, se io osservo la scacchiera dopo un rimescolamento, è molto probabile che veda una distribuzione di quel tipo invece che un'altra: ad esempio, invece di quella in cui ci sono 3 pedine in ogni casella o a quella in cui tutte e 108 le pedine sono in una sola casella.
Riflettiamo sul motivo per cui questo accade. Il motivo è che ci sono molti più modi di disporre le pedine come nella figura che non in una configurazione diversa.
La dimostrazione di questo risultato è così generale che lo si può applicare ai campi più diversi. Per esempio, se un certo numero di giocatori entrano in una sala scommesse ciascuno con un certo numero di gettoni, all'uscita è assai probabile che ci siano molti giocatori con nessun gettone, meno con un solo gettone, eccetera.
